Método de Newton Raphson

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Historia

El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes número terminorum infinitas (escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas x_n, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo.

Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi.

El método de Newton-Raphson es llamado así por la razón de que el matemático inglés Joseph Raphson (contemporáneo de Newton) se hizo miembro de la Royal Society en 1691 por su libro "Aequationum Universalis", análisis que publicó en 1690 y el cual contenía este método para aproximar raíces. Mientras que Newton en su libro Método de las fluxiones describe el mismo método escrito en 1671, no fue publicado hasta 1736, lo que significa que Raphson había publicado este resultado casi 50 años antes, aunque no fue tan popular como los trabajos de Newton y se le reconoció posteriormente.

Descripción del método

La función ƒ es mostrada en azul y la línea tangente en rojo. Vemos que x_n₊₁ es una mejor aproximación que x_n para la raíz x de la función f.

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente. f'(x)= 0 Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x₀ y definimos para cada número natural n

Donde f ' denota la derivada de f.

Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita conocible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.

Obtención del Algoritmo

Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson.

La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. Así pues, si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X). Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (

(

)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto,

. La nueva aproximación a la raíz,

, se logra la intersección de la función lineal con el eje X de abscisas. Matemáticamente:

$Descripción: f'(x_n)=\frac{f(x_n)}{x_n-x_{n+1}}$

Ilustración de una iteración del método de Newton (la función f se muestra en azul y la línea de la tangente en rojo). Vemos que $Descripción: x_{n+1}$ es una aproximación mejor que

para la raíz

de la función

En la ilustración adjunta del método de Newton se puede ver que $Descripción: x_{n+1}$ es una mejor aproximación que

para el cero (x) de la función f.

Una forma alternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función f (x) en serie de Taylor, para un entorno del punto

$Descripción: f(x)=f(x_n)+f'(x_n) (x-x_n)+ (x-x_n)^2 \frac{f''(x_n)}{2!} + ... \,$

Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2, y evaluamos en $Descripción: x_{n+1}$ :

$Descripción: f(x_{n+1})=f(x_n)+f'(x_n) (x_{n+1}-x_n) \,$

Si además se acepta que $Descripción: x_{n+1}$ tiende a la raíz, se ha de cumplir que $Descripción: f(x_{n+1})=0$ , luego, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos el algoritmo.

Finalmente, hay que indicar que el método de Newton-Raphson puede interpretarse como un método de iteración de punto fijo. Así, dada la ecuación

, se puede considerar el siguiente método de iteración de punto fijo:

$Descripción: g(x)=x+h(x) f(x) \,$

Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz buscada). Dado que g'(r) es:

$Descripción: g'(r)=1+h'(r) f(r) + h(r) f'(r)=1+h(r) f'(r) \,$

Entonces:

Como h (x) no tiene que ser única, se escoge de la forma más sencilla:

$Descripción: h(x)=\frac{-1}{f'(x)}$

Por tanto, imponiendo subíndices:

$Descripción: g(x_n)=x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Expresión que coincide con la del algoritmo de Newton-Raphson

Convergencia del Método

El orden de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático. Sin embargo, si la raíz buscada es de multiplicidad algebraica mayor a uno (i.e, una raíz doble, triple, ...), el método de Newton-Raphson pierde su convergencia cuadrática y pasa a ser lineal de constante asintótica de convergencia 1-1/m, con m la multiplicidad de la raíz.

Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser los métodos de aceleración de la convergencia tipo Δ² de Aitken o el método de Steffensen. Derivados de Newton-Raphson destacan el método de Ralston-Rabinowitz, que restaura la convergencia cuadrática sin más que modificar el algoritmo a:

$Descripción: x_{n+1} = x_n - m \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$

Evidentemente, este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíz, lo cual no siempre es posible. Por ello también se puede modificar el algoritmo tomando una función auxiliar g(x) = f(x)/f'(x), resultando:

$Descripción: x_{n+1} = x_n - \frac{g(x_n)}{g'(x_n)}.$

Su principal desventaja en este caso sería lo costoso que pudiera ser hallar g(x) y g'(x) si f(x) no es fácilmente derivable.

Por otro lado, la convergencia del método se demuestra cuadrática para el caso más habitual en base a tratar el método como uno de punto fijo: si g '(r)=0, y g''(r) es distinto de 0, entonces la convergencia es cuadrática. Sin embargo, está sujeto a las particularidades de estos métodos.

Nótese de todas formas que el método de Newton-Raphson es un método abierto: la convergencia no está garantizada por un teorema de convergencia global como podría estarlo en los métodos de falsa posición o de bisección. Así, es necesario partir de una aproximación inicial próxima a la raíz buscada para que el método converja y cumpla el teorema de convergencia local.

Teorema de Convergencia Local del Método de Newton

Sea $Descripción: f \in \mathcal{C}^2 ([a,b])$ . Si $Descripción: p \in [a,b]$ , $Descripción: \displaystyle f(p)=0$ y $Descripción: f'(p)\neq 0$ , entonces existe un r>0 tal que si $Descripción: |x_0-p|<r \,$ , entonces la sucesión x_n con $Descripción: n \in \mathbb{N}$ verifica que:

$Descripción: |x_n-p|<r \,$ para todo n y x_n tiende a p cuando n tiende a infinito.

Si además $Descripción: f \in \mathcal{C}^3 ([a,b])$ , entonces la convergencia es cuadrática.

Teorema de Convergencia Global del Método de Newton

Sea $Descripción: f\in{\mathcal{C}^2[a,b]}$ verificando^[^1] :

$Descripción: f'(x)\neq0$ para todo $Descripción: x\in{[a,b]}$
$Descripción: f''(x) f''(y)\geq 0$ para todo $Descripción: x,y\in{[a,b]}$
$Descripción: \max\left\{{\frac{\left |{f(a)}\right |}{\left |{f'(a)}\right |},\frac{\left |{f(b)}\right |}{\left |{f'(b)}\right |}}\right\}\leq b-a$

Entonces existe un único $Descripción: s\in{[a,b]}$ tal que

por lo que la sucesión converge a s.

Estimación del Error

Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrática: si $Descripción: \alpha$ es raíz, entonces:

$Descripción: |x_{k+1}-\alpha|\leq C|x_k-\alpha|^2$

para una cierta constante

. Esto significa que si en algún momento el error es menor o igual a 0,1, a cada nueva iteración doblamos (aproximadamente) el número de decimales exactos. En la práctica puede servir para hacer una estimación aproximada del error:

Error relativo entre dos aproximaciones sucesivas:

$Descripción: E = \frac{|x_{k+1}-x_k|}{|x_{k+1}|}$

Con lo cual se toma el error relativo como si la última aproximación fuera el valor exacto. Se detiene el proceso iterativo cuando este error relativo es aproximadamente menor que una cantidad fijada previamente.

Ejemplo

Consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos(x) = x³. Podríamos tratar de encontrar el cero de f(x) = cos(x) - x³.

Sabemos que f '(x) = -sin(x) - 3x². Ya que cos(x) ≤ 1 para todo x y x³ > 1 para x>1, deducimos que nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x₀ = 0,5

$Descripción: \begin{matrix} x_1 & = & x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} & = & 0,5 - \frac{\cos(0,5) - 0,5^3}{-\sin(0,5) - 3 \times 0,5^2} & = & 1,112141637097 \\ x_2 & = & x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} & & \vdots & = & \underline{0},909672693736 \\ x_3 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,86}7263818209 \\ x_4 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,86547}7135298 \\ x_5 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,8654740331}11 \\ x_6 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,865474033102} \end{matrix}$

Los dígitos correctos están subrayados. En particular, x₆ es correcto para el número de decimales pedidos. Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x₃) a 5 y 10, ilustando la convergencia cuadrática.

METODO DE LA SECANTE

En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último.

El método

El método se define por la relación de recurrencia:

$Descripción: x_{n+1} = x_n - \frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} f(x_n).$

Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial.

Derivación del método

El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x_n₋₁, f(x_n₋₁)) y (x_n, f(x_n)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función. En la imagen de arriba a la derecha se toman los puntos iniciales x₀ y x₁, se construye una línea por los puntos (x₀, f(x₀)) y (x₁, f(x₁)). En forma punto-pendiente, esta línea tiene la ecuación mostrada anteriormente. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia, x_n₊₁, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la fórmula, y un nuevo valor. Seguimos este proceso, hasta llegar a un nivel suficientemente alto de precisión (una diferencia lo suficientemente pequeñas entre x_n y x_n_-1).

Convergencia

El orden de convergencia de este método, en un punto cercano a la solución, es $Descripción: \varphi$ donde

$Descripción: \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$

es el número áureo, por lo que se trata de una convergencia superlineal inferior a la del método de Newton-Raphson. En caso de que la aproximación inicial sea demasiado lejana o la raíz no sea simple, este método no asegura la convergencia y tiene un comportamiento similar al de Newton-Raphson.

Comparación con otros métodos de búsqueda de raíces

El método de bisección necesita de muchas iteraciones comparado con el método de la secante, ya que el proceso que éste sigue es mucho más preciso que el de bisección, el cual solo divide por mitades sucesivamente hasta dar con un valor aproximado al real y por consecuente conlleva un número significativamente mayor de iteraciones.

El método de la regla falsa utiliza la misma fórmula que el método de la secante. Sin embargo, no se aplica la fórmula en x_n₋₁ y x_n, como el método de la secante, pero en x_n y en la última iteración x_k tal que f(x_k) y f(x_n) tiene un signo diferente. Esto significa que el método de regla falsa siempre converge.

La fórmula de recurrencia del método de la secante se puede derivar de la fórmula para el método de Newton-Raphson:

$Descripción: x_n = x_n - \frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})} .$

utilizando la aproximación de diferencias finitas:

$Descripción: f'(x_{n-1}) \approx \frac{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}{x_{n-1}-x_{n-2}}.$

Si comparamos el método de Newton-Raphson con el método de la secante, vemos que el método de Newton-Raphson converge más rápido (para 2 en contra α ≈ 1,6). Sin embargo, el método de Newton-Raphson requiere la evaluación de ambos f y su derivada en cada paso, mientras que el método de la secante sólo requiere la evaluación de f. Por lo tanto, el método de la secante puede muy bien ser más rápido en la práctica.

Ejercicio de ejemplo

Utilice el método de la secante para encontrar una raíz real de la ecuación polinomial: F(x)=x³+2x²+10x-20=0.

Utilizando la ecuación:

$Descripción: x_{n+1} = x_n - \frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} f(x_n).$

Obtenemos:

$Descripción: x_{n+1} = x_n - \frac{(x_n-x_{n-1})(x_{n}^3+2x_{n}^2+10x_{n}-20)}{(x_{n}^3+2x_{n}^2+10x_{n}-20)-((x_{n-1}^3+2x_{n-1}^2+10x_{n-1}-20))}$

Y mediante x₀=0 y x₁=1 se calcula x₂

$Descripción: x_{2} = 1 - \frac{(1-0)(1^3+2(1)^2+10(1)-20)}{(1^3+2(1)^2+10(1)-20)-(0^3+2(0)^2+10(0)-20)}=1.53846$

Los valores posteriores son los siguientes:

Ahi tenemos el resultado, cuando $Descripción: |x_{n+1} - x_n|$ ≤ $Descripción: \epsilon =10^{-3}$

Descripción: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Newton_iteration.png/300px-Newton_iteration.png

$Descripción: x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$

Comprobando el resultado graficando la función utilizando software obtenemos:

Si bien no se converge a la raíz tan rápido como resolviéndolo utilizando el método Newton-Raphson, la velocidad de convergencia no es tan lenta como resolviéndolo por el método de punto fijo; entonces se tiene para este ejemplo una velocidad de convergencia intermedia.

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton

jueves, 28 de febrero de 2013